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フェルマーの小定理の証明その1

フェルマーの小定理は、次のものです。

pが素数で、aがpの倍数でない正の整数のとき、

  ap-1≡1(mod p)

です。

少し説明しますと、仮に、p=5、a=1, 2, 3, 4,6, 7のとき、ap-1は、次の値を取ります。

 1=1

 2=16

 3=81

 4=256

 6=1256

 7=2401

これらの値を5で割ると、あまりがすべて1です。つまりa4≡1 (mod 5)が成立しています。

 今回の証明その1は、数学的帰納法を用います。

 つまり、任意の正の整数aに対して、ap≡aであることを示せば、以前説明した(2021年11月18日の本ブログ参照)定理「aとpが互いに素なときは、合同式の両辺をaで割ることができる」を使うことにより、上式の両辺をaで割れば、フェルマーの小定理が求まります。

 さて、a=1のとき、あきらかにaP≡aです。

 二項定理を使うこととします。

 2項定理の

から、a→1、b→mとおくと、

となり、pが素数で、1≦k≦p-1のとき、pCkがpの倍数であるから(※)

 mp≡mなら、(m+1)≡m+1が成立する。

以上から、数学的帰納法から、すべてのaに対してap≡a であり、証明されたことになります。

※これは2項係数の一つの性質であります。