フェルマーの小定理は、次のものです。
pが素数で、aがpの倍数でない正の整数のとき、
ap-1≡1（mod ｐ）
です。
少し説明しますと、仮に、p＝５、a=1, 2, 3, 4,６, 7のとき、ap-1は、次の値を取ります。
１４＝１
２４＝１６
３４＝８１
４４＝２５６
６４=１２５６
７４＝２４０１
これらの値を５で割ると、あまりがすべて１です。つまりa4≡1 (mod ５）が成立しています。
今回の証明その１は、数学的帰納法を用います。
つまり、任意の正の整数aに対して、ap≡aであることを示せば、以前説明した（2021年11月18日の本ブログ参照）定理「aとpが互いに素なときは、合同式の両辺をaで割ることができる」を使うことにより、上式の両辺をaで割れば、フェルマーの小定理が求まります。
さて、a=1のとき、あきらかにaP≡aです。
二項定理を使うこととします。
2項定理の
から、a→1、ｂ→mとおくと、
となり、pが素数で、１≦k≦p－1のとき、pCkがpの倍数であるから（※）
mp≡ｍなら、（ｍ＋１）ｐ≡ｍ＋１が成立する。
以上から、数学的帰納法から、すべてのaに対してap≡a であり、証明されたことになります。
※これは2項係数の一つの性質であります。
