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今度は4次方程式の解の公式：フェラーリの方法

4次方程式まで、解の公式はあり、5次以上の方程式の解の公式はないそうです。

4次方程式の解の公式は、Wikipediaにあります。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

つまり、

{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{4}\neq 0)\\\\&x_{1}={\color {Red}{-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}}-{\frac {\sqrt {\color {Blue}{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}}{2}}-{\frac {\sqrt {\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{2}}\\&x_{2}={\color {Red}{-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}}+{\frac {\sqrt {\color {Blue}{\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}}}{2}}-{\frac {\sqrt {\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{2}}\\&x_{3}={\color {Red}{-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}}-{\frac {\sqrt {\color {Blue}{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}}}{2}}+{\frac {\sqrt {\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{2}}\\&x_{4}={\color {Red}{-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}}+{\frac {\sqrt {\color {Blue}{\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}}}{2}}+{\frac {\sqrt {\color {Green}{\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}{2}}\\\\&{\begin{array}{|l|}\hline {\begin{array}{|c|}\hline 1\\\hline \end{array}}\rightarrow {\frac {\begin{array}{|c|}\hline 3\\\hline \end{array}}{4{\sqrt {\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}}+{\frac {a_{3}^{2}}{2a_{4}^{2}}}-{\frac {2^{\frac {1}{3}}{\begin{array}{|c|}\hline 5\\\hline \end{array}}}{3{\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}^{\frac {1}{3}}a_{4}}}-{\frac {{\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}^{\frac {1}{3}}}{3\times 2^{\frac {1}{3}}a_{4}}}-{\frac {4a_{2}}{3a_{4}}}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}\rightarrow -{\frac {\begin{array}{|c|}\hline 3\\\hline \end{array}}{4{\sqrt {\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}}}}+{\frac {a_{3}^{2}}{2a_{4}^{2}}}-{\frac {2^{\frac {1}{3}}{\begin{array}{|c|}\hline 5\\\hline \end{array}}}{3{\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}^{\frac {1}{3}}a_{4}}}-{\frac {{\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}^{\frac {1}{3}}}{3\times 2^{\frac {1}{3}}a_{4}}}-{\frac {4a_{2}}{3a_{4}}}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 3\\\hline \end{array}}\rightarrow -{\frac {a_{3}^{3}}{a_{4}^{3}}}+{\frac {4a_{2}a_{3}}{a_{4}^{2}}}-{\frac {8a_{1}}{a_{4}}}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 4\\\hline \end{array}}\rightarrow {\frac {a_{3}^{2}}{4a_{4}^{2}}}+{\frac {2^{\frac {1}{3}}{\begin{array}{|c|}\hline 5\\\hline \end{array}}}{3{\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}^{\frac {1}{3}}a_{4}}}+{\frac {{\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}^{\frac {1}{3}}}{3\times 2^{\frac {1}{3}}a_{4}}}-{\frac {2a_{2}}{3a_{4}}}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 5\\\hline \end{array}}\rightarrow a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}+12a_{0}a_{4}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 6\\\hline \end{array}}\rightarrow 2a_{2}^{3}-9a_{1}a_{2}a_{3}+27a_{0}a_{3}^{2}+27a_{1}^{2}a_{4}-72a_{0}a_{2}a_{4}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 7\\\hline \end{array}}\rightarrow -4{\begin{array}{|c|}\hline 5\\\hline \end{array}}^{3}+{\begin{array}{|c|}\hline 6\\\hline \end{array}}^{2}\\\hline {\begin{array}{|c|}\hline 8\\\hline \end{array}}\rightarrow {\begin{array}{|c|}\hline 6\\\hline \end{array}}+{\sqrt {\begin{array}{|c|}\hline 7\\\hline \end{array}}}\\\hline \end{array}}\end{aligned}}}

ということのようです。書き下した式は、上記Wikipediaを参照してください。長すぎてここに載せきれません（泣）。

3次方程式同様に、この解の公式自体を覚えることは意味がなく、その導出法（完全平方式を利用するもので、具体的には　（2次式）の2乗 = （1次式）の2乗 の形に変形して解くことになる　が、この変形の過程で三次方程式を解く操作が必要となる）に面白みがあるということです。