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i(虚数)をi乗すると実数、それも複数の実数になるって(*’ω’*)

iを二乗すると-1になるというのは、昔習いましたが、そのiをi乗するとどうなるかなんてことを、気にしたことはありませんでしたか?

実は、その答えの一つは以前の当Blog(2020年8月18日)で紹介したオイラーの公式

{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }

を使うと求められます。

ii=exp(logii)

=exp(i*log(i))

=exp(i*(log|i|+i*arg(i)))

=exp(0-arg(i))

=exp(-(2n+1/2)*π) n=0,±1,±2, …

ここで、n=0のとき exp(-π/2)=0.20787957635…となります。n=+1のとき、exp(-5/2π)=0.00038820320…となります。

つまり、答えは、ii=…,e−9π/2, e−5π/2, e−π/2, e3π/2, e7π/2, … と、実数が、一杯出てくるようです。 驚きですよね~!!

参考文献は、次の通りです:

https://ja.wikipedia.org/wiki/I%E3%81%AEi%E4%B9%97

https://tsujimotter.hatenablog.com/entry/i-to-the-power-of-i