またしても鈴木貫太郎先生の問題(^-^;
鈴木貫太郎先生が次の問題を出していました。鈴木先生は華麗に解いてましたが、私は泥臭く解きました。
三次方程式の解に関するナイスな問題
https://www.youtube.com/watch?v=DBFgASHNsys&t=1s
与えられた式から、α3＋１＝α2+α-1、β3+1=β2+β-1、γ3+1＝γ2+γ-1であるので、
X=(α3＋１)(β3+1)(γ3+1)
＝(α2+α-1)(β2+β-1)(γ2+γ-1)
=αβγ{αβγ+(αβ＋βγ+γα）+(α+β+γ)+1}ーαβ(αβ+α+β+1)ーβγ(βγ＋β＋γ＋１）-γα(γα＋γ+α＋１）＋（α2+β2+γ２）＋(α+β+γ）ー１
Y=ーαβ(αβ+α+β+1)ーβγ(βγ＋β＋γ＋１）-γα(γα＋γ+α＋１）とおくと、
Y＝ー（α2β2+β2γ2+γ2α2）ー(α2β+β2α+β2γ+γ2β＋γ2α+α2γ）－（αβ＋βα+γα）となる。
ここで、3次方程式の係数と解の関係から、α＋β＋γ＝１、αβ＋βα+γα＝-１、αβγ＝-２は既知であり、解っていないのは、α2+β2+γ2と、α2β2+β2γ2+γ2α2と、α2β+β2α+β2γ+γ2β＋γ2α+α2γであるが、これは、次のようにして求められます。
(α+β+γ)2＝α2+β2+γ2+2(αβ+βγ+γα)＝１であるから、α2+β2+γ2＝1－２(-１)＝3となり、
(αβ＋βα+γα)2＝α2β2+β2γ2+γ2α2+2αβγ(α+β+γ）＝１であるから、α2β2+β2γ2+γ2α2+2(-2)(1）＝１より、α2β2+β2γ2+γ2α2＝５となります。
また、(α+β+γ)(αβ＋βα+γα)=α2β+β2α+β2γ+γ2β＋γ2α+α2γ＋3αβγ＝-1であるから、α2β+β2α+β2γ+γ2β＋γ2α+α2γ＝-1－3（-２）＝5となります。
従って、Y=-5－５－(-1)＝－9
よって、 X=αβγ{αβγ+(αβ＋βγ+γα）+(α+β+γ)+1}＋Y＋（α2+β2+γ２）＋(α+β+γ）ー１
＝（-2）{（-2）+（-１）＋1＋１}－9＋３＋１－１＝－4
答えは鈴木貫太郎先生のものとあってます！！
ということで、華麗ではなく、力任せの解き方でした！大変失礼をば。
今度時間見つけて別の解き方にチャレンジします (^_-)-☆