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あなたはトリボナッチ数列とかテトラナッチ数列とか知ってますか？

先にフィボナッチ数列の紹介をしました(2020年8月26日)。このとき、自然数の数列なのに、その一般項を求めると、無理数の差で表されていたということが驚きでした。

トリボナッチ数列は、同様に、次の自然数の数列で、前3つの数字を足した数列（0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768,…）です。

この一般項には、今度は虚数（i）が含まれるというので驚きです。Wikipedia　（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%9C%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%81%E6%95%B0#%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%9C%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%81%E6%95%B0）によれば、その一般項は次のように記すことができるようです。

{\displaystyle T_{n}={\frac {\alpha ^{n}}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}}+{\frac {\beta ^{n}}{(\beta -\gamma )(\beta -\alpha )}}+{\frac {\gamma ^{n}}{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )}}}

ただし、α, β, γ は三次方程式 x3 − x2 − x − 1 = 0 の3つの解

{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\\\beta &={\frac {1}{3}}\left(1+\omega {\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\bar {\omega }}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\\\gamma &={\frac {1}{3}}\left(1+{\bar {\omega }}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+\omega {\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\end{aligned}}}

であり、ここでｗは、1の虚立方根、

{\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}

です。なお、α をトリボナッチ定数といい、隣接2項間の商はトリボナッチ定数に収束するということです。

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}=\alpha =1.839286755214161\cdots }

同様に、前４つの数字を足した値となる数列（0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536,…）がテトラナッチ数列です。その一般項は、四次方程式 x4 − x3 − x2 − x − 1 = 0 の4つ解を α, β, γ, δ として、

{\displaystyle T_{n}={\frac {\alpha ^{n}}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )(\alpha -\delta )}}+{\frac {\beta ^{n}}{(\beta -\gamma )(\beta -\delta )(\beta -\alpha )}}+{\frac {\gamma ^{n}}{(\gamma -\delta )(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )}}+{\frac {\delta ^{n}}{(\delta -\alpha )(\delta -\beta )(\delta -\gamma )}}}

となるとのこと。

今回のこのトリボナッチ数列のことも、ヨビノリのたくみ先生のYouTube講義「中学数学からはじめる複素数」https://www.youtube.com/watch?v=IQaYyFboK48　で知りました　!(^^)!